matematika

 

Irisan dan Gabungan Dua Himpunan

                1. Irisan dua Himpunan

           Irisan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota - anggotanya merupakan anggota A sekaligus anggota B.

Irisan himpunan A dan B dinyatakan dengan notasi :

                              A ∩ B = { x | x ε A dan x ε B }

Contoh : S = { 1,2,3,4,5,6,7 }, A = { 1,2,3,4,5,6 } dan B = { 2,3,5,7 }

Diagram Vennnya :

A ∩ B = { 2,3,5 } merupakan anggota persekutuan antara himpunan A dan B. Himpunan A dan B saling berpotongan, dituls A = B.Dua himpunan yang tidak mempunyai irisan dikatakan saling lepas dan dinyatakan dengan notasi //

                   2. Gabungan dua himpunan

           Gabungan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota - anggotanya merupakan anggota A saja, atau anggota B saja, atau anggota persekutuan A dan B

           Gabungan himpunan A dan B dinyatakan dengan notasi

                                   A U B = { x | x ε A atau x ε B }

Contoh

A = { 0,2,4,6,8 }

B = { 2,3,5,7 }

Diagram Vennya

A U B = { 0,2,3,4,5,6,7,8 } 

Operasi-Operasi Himpunan

 

            Jenis-jenis operasi yang sering digunakan pada himpunan yaitu operasi irisan, gabungan, komplemen, selisih, beda setangkup, dan perkalian.

a.     Irisan

Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B.

Notasi  : A ∩ B = { x | x є A dan x є B }

Contoh            :

Misalkan A = { ( x,y ) | ( x,y ) = ( 0,0 ), ( 0,1 ), ( 1,1 ) } dan B = { ( x,y ) | ( x,y ) = ( 1,1 ), ( 1,2 ), ( 2,1 ) }

Maka A ∩ B = { ( x,y ) | ( x,y ) = ( 1,1 ) }

     

b.    Gabungan

Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.

Notasi : A U B = { x|x є A atau x є B }

Contoh :

Misalkan A = { x | 0 ≤ x ≤ 1 } dan B = { x | -1 ≤ x ≤ 2 }

Maka A U B = { x | -1 ≤ x ≤ 2 }

c.      Komplemen

Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan  semesta S adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen S yang bukan elemen A.

Notasi : Ac = { x | x є S, x є A }, Diagram Venn untuk Ac ( daerah yang diarsir )

d.    Selisih

Selisih dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B.

Notasi : A – B = { x | x є A dan x є B }

Contoh : Jika A = { 1,2,…,10 } dan B = { bilangan genap dari 1 – 10 }, maka      A – B = { 1,3,5,7,9 } dan B – A = Ø

e.      Beda Setangkup

Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi : A + B = ( A + B ) – ( A + B ) = ( A – B ) + ( B – A )

Contoh :

Jika A = { 2,4,6 } dan B = { 2,3,5 } maka A + B = { 3,4,5,6 }

f.      Perkalian Kartesian

Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.

Notasi : A X B = { ( a,b ) | a є A dan b є B }

Contoh :

Jika A = { 1,2,3 } dan B = { a,b } maka A X B = { ( 1,a ), ( 1,b ), ( 2,a ), ( 2,b ),    ( 3,a ), ( 3,b ) }  

HIMPUNAN

A. PENGERTIAN HIMPUNAN

    

1.      PENGERTIAN HIMPUNAN MELALUI CONTOH

Himpunan adalah suatu kumpulan benda atau objek yang didefinisikan dengan jelas. Berikut ini beberapa contoh kumpulan :

a.       kumpulan bilangan cacah yang kurang dari 10

b.      kumpulan siswa kelas 1 SMA yang berambut lurus

c.       kumpulan angka yang menarik

d.      kumpulan siswa yang manis

Pada masing-masing kumpulan pada butir (a) dan (b) didefinisikan dengan jelas. Tetapi pada butir (c) dan (d) tidak didefinisikan dengan jelas. Dengan demikian, kumpulan pada butir (a) dan (b) disebut himpunan, sedangkan pada butir (c) dan (d) bukan himpunan.

2.      MENGENAL LAMBANG SUATU HIMPUNAN

Suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf capital, misalnya A,B,C, dan D. Sedangkan unsur-unsur himpunan dinyatakan dalam tanda kurung kurawal buka dan tutup, serta dipisahkan dengan tanda koma.

Contoh :

A = { x | x adalah himpunan bilangan ganjil yang kurang dari 11 }

B = { x | x adalah himpunan bilangan asli }

B. ANGGOTA HIMPUNAN

    

1.      PENGERTIAN ANGGOTA HIMPUNAN

A = { x | x adalah himpunan bilangan ganjil kurang dari 9 }

A = 1,3,5,7

Jadi, anggota himpunan A adalah anggota-anggota yang terkandung dalam kumpulan yang bersangkutan (1,3,5,7). Sedangkan, selain anggota-anggota itu (0,2,4,6,8,dst) bukan anggota-anggota himpunan A. Anggota himpunan disebut juga elemen atau unsure himpunan.

2.      MENYATAKAN BAHWA SUATU OBJEK MERUPAKAN ANGGOTA SUATU HIMPUNAN ATAU BUKAN

Untuk menyatakan bahwa suatu objek merupakan anggota suatu himpunan digunakan symbol keanggotaan himpunan, yaitu “ Î “, sedangkan untuuk menyatakan bahwa suatu objek yang bukan merupakan anggota suatu himpunan digunakan symbol bukan keanggotaan himpunan yaitu “ Ï “.

3.      BANYAKNYA ANGGOTA SUATU HIMPUNAN

Bilangan yang menyatakan banyaknya unsur pada himpunan A disebut bilangan kardinal. Himpunan A ditulis n (A). Jika himpunan A terdiri k buah unsur, maka n(A) = k artinya bilangan kardinal himpunan A adalah k, dengan k adalah bilangan cacah.

C. MENYATAKAN SUATU HIMPUNAN

1.      CARA MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN KATA-KATA

Misalkan himpunan A dengan anggota-anggotanya 2,3,5, dan 7. Kita dapat menyatakan himpunan A dengan kata-kata, yaitu A = { himpunan empat bilangan prima pertama }, atau A = himpunan bilangan prima kurang dari 10.

2.      CARA MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN NOTASI PEMBENTUK HIMPUNAN

Kita dapat menyatakan suatu himpunan dengan menyebutkan sifat unsur atau syarat keanggotaan himpunannya yang penyajiannya mempergunakan notasi pembentuk himpunan. Cara serupa ini dinamakan Cara Pencirian ( Metode Aturan atau Rule Method )

Contoh :

B = { x | x bilangan cacah }

Dibaca : B adalah himpunan semua n, sedemikian sehingga n adalah bilangan cacah.

3.      CARA MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN MENDAFTAR

Cara menyatakan himpunan dengan mendaftar (mentabulasi) digunakan untuk menuliskan suatu himpunan dengan mendaftar atau menyebutkan semua unsur atau anggota yang termasuk dalam himpunan yang bersangkutan. Cara ini dinamakan cara mendaftar (metode daftar atau roster method). Jika kita menyatakan suatu himpunan dengan cara mendaftar, maka semua anggota dari himpunan ditulis diantara tanda kurung kurawal buka dan tutup, serta penulisan anggota yang satu dengan anggota yang lain dipisahkan  oleh tanda koma.

A = himpunan bilangan bulat antara -3 dan 3.

A = {-2,-1,0,1,2}.

Dalam menyatakan himpunan dengan cara mendaftar, kita harus memperhatikan hal-hal berikut :

a.       Dalam menuliskan anggotanya hanya anggota yang berbeda saja, artinya anggota yang muncul lebih dari satu kali hanya ditulis sekali saja.

Perhatikan kumpulan bilangan : 2,3,2,2,4,5,0,dan 5

Ditulis dengan cara A = {0,2,3,4,5}.

b.      Dalam penulisan anggota suatu himpunan urutannya tidak diperhatikan, artinya letak masing-masing anggota boleh ditukarkan.

P = {1,2,3,4,5}. Dapat ditulis

P = {5,4,3,2,1}.

c. Apabila suatu himpunan yang jumlah anggotanya cukup banyak dan anggota-                    anggotanya memiliki urutan tertentu, digunakan tanda “…” (titik tiga).

HUKUM PADA ALJABAR HIMPUNAN

1. Hukum Idempoten

(1.a) A U A = A                                              (1.b) A ∩ A = A

1. Hukum Asosiatif

(2.a) (A U B) U C = A U (B U C)

(2.b) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

1. Hukum Komutatif

(3.a) A U B = B U A                                      (3.b) A ∩ B = B ∩ A

     

1. Hukum Distributif

(4.a) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

(4.b) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

     

1. Hukum Identitas

(5.a) A U ø = A                                               (5.b) A ∩ ø = ø

(6.a) A U U = U                                              (6.b) A ∩ U = A

1. Hukum Involusi

(7) (A’)’ = A

1. Hukum Komplemen

(8.a) A U A’ = U                                            (8.b) A ∩ A’ = ø

(9.a) U’ = ø                                                     (9.b) O’ = U

1. Hukum De Morgan

(10.a) (A U B)’ = A’ ∩ B’                              (10.b) (A ∩ B)’ = A’ ∩ B’

           .   

       

MACAM-MACAM HIMPUNAN

 

Ada beberapa macam himpunan diantaranya :

1. Himpunan Kosong

Himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak mempunyai satupun elemen atau himpunan dengan cardinal = 0. Notasinya Ø atau { }.

Contoh :

P = { x | x adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 5x +10 = 0 }, maka n(P) = 0.

1. Himpunan Bagian

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini B dikatakan superset dari A. Notasinya A Ì B.

Contoh :

Misalkan A = {1,2,3} dan B = {1,2,3,4,5}, maka A Ì B.

1. Himpunan Yang Sama

Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B, jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya. Notasinya A = B « B = A.

Contoh :

Jika A = {a,b,c} dan B = {c,a,b} maka A = B

1. Himpunan Yang Ekuivalen

Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan Bjika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasinya : A ~ B « n (A) = n(B).

Contoh :

Jika A = {1,2,3,4} dan B = {s,a,p,i} maka A ~ B sebab n(A) = n(B) = 4.

1. Himpunan Saling Lepas

Dua buah himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. Notasinya A // B.

Contoh :

Jika A = { x | x є P, x < b = “ >” }

1. Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dari A itu sendiri. Notasinya : P(A) atau 2A.

Contoh :

Jika A = {1,2}, maka P(A) = { {1},{2},{3} }.

1. Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota yang sedang dibicarakan dan dinyatakan dengan lambang “S”.

Contoh :

A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}

B = {-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}

C = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}

D = {2,3,5,7,11}

E = {0,2,4,6}

Perhatikan setiap anggota himpunan A,B,C,D dan E

1.      Apakah setiap anggota himpunan D ada di dalam himpunan A,B dan C ?

Setiap anggota himpunan D yaitu 2,3,5,7,11 ada di dalam himpunan A,B,C. Oleh karena itu himpunan A,B,C adalah Himpunan Semesta dari himpunan D.

2.      Apakah setiap anggota himpunan E ada di dalam himpunan A,B dan C ?

Setiap anggota Himpunan E yaitu 0,2,4,6 ada di dalam himpunan B dan C, tetapi angka 0 tidak ada di dalam himpunan A. Oleh karena itu himpunan B dan C merupakan Himpunan Semesta dari himpunan E, dan himpunan A bukan himpunan semesta dari E.

1. Himpunan Denumerabel

Jika sebuah himpunan ekuivalen dengan himpunan N, yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas a.

Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh 2n.

A = {2,4,6,8,…}

1. Himpunan Berhingga

Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas a, maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.

1. Himpunan Tercacah

Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.

1. Himpunan Non-Denumerabel

Himpunan yang tidak tercacah disebut himpunan Non-Denumerabel. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan rill. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas c. Pembuktian bahwa bilangan rill tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal. Himpunan bilangan rill dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas c, karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan rill, yang salah satunya adalah y = tan (px-½p).